Klausur Lineare Algebra 1 Aufgaben & Lösungen

Hier ist die komplette Lösung der Lineare Algebra I-Prüfung bei Prof. Dr. Fritzsche von 2011. Genauer handelt es sich um die Lösungen einer Nachklausur. Ich denke, dass sich manche über den Up freuen.

Die Aufgaben dazu sind urheberrechtsgeschützt. Daher hier eine kurze Zusammenfassung der Aufgaben:

1. X, Y, Z nichtleer, Phi: X nach Y, Psi: Y nach Z.

       a) Falls Phi, Psi surjektiv, so auch (Psi o Phi)

       b) Ohne Begründung, gebe ein Beispiel dafür, dass Umkehrung von a) nicht gilt.

2. Zeige D bzgl. Matritzenmultiplikation bildet kommutative (abelsche) Gruppe

3. Sei V K-Vektorraum.

       a) Definiere Unterraum von V

       b) Notwendige & Hinreichende Bedingung für U C V ist Unterraum von V.

4. Vektorsysteme sind Erzeugendensystem, Basis, ...?

5. V K-Vektorraum mit dim(V) = m, m natürliche Zahl. Gebe Menge M aller positiven ganzen Zahlen an, für die existiert linear unabhängiges System v1, ... , vn von n Vektoren aus V gibt.

6. Vektorraum R3 mit U := span{(1 2 1)^T,  (1 1 1)^T, (5 7 5)^T}.

       a) Bestimme dim(U)

       b) Zeige v := (3 5 3)^T gehört zu U

       c) Gebe Basis von U, welche v enthält an.

       d) Gebe Unterraum U1 von V mit V = U + U1.

           Gebe von U1 verschiedenen Unterraum U2 von V an, mit V = U + U2.

7. Berechne ABB* sowie (CC)^T - 2A mit gegebenen Matrizen: 

    A= ((1 0)^T (1 1)^T), B = (1 i)^T, C = ((1 2)^T (1 1)^T (1 3)^T)

8. A e C^(pxq), b e C^(p). Siehe auch Lösungen.

       a) Gebe Notwendige & Hinreichende Bedingung für LGS lösbar.

       b) Begründe LGS eindeutig lösbar.

       c) Begründe, dass im Fall I - AA* invertierbar, das angegebene LGS eindeutig lösbar ist. Hinweis berechne Produkt BCB*.

Hier die Lösungen handschriftlich:

Ich hoffe das hilft bei der Vorbereitung zur Klausur. Mathe ist eine Trainingssportart! Viel Spaß.