Für alle, die nach einer Probeklausur zur Vorlesung Lineare Algebra 2 suchen! Ich hab hier die Musterlösung der Klausur bei Prof. Dr. Fritzsche von 2011 eingescannt. Die Prüfung enthält eine Textaufgabe sowie Aufgaben zur Berechnung der Moore-Penrose-Inversen, linearen Abbildungen, Laplace-Entwicklung bei der Berechnung der Determinante und Bestimmung der Eigenwerte und Eigenräume sowie Berechnung der algebraischen und geometrische Vielfachheiten. Da die Aufgaben urheberrechtsgeschützt sind, umschreibe ich die Aufgaben grob:
1. Mensa verkauft Essen A, B, C zu 1, 2, 3 bzw. 2, 4, 5 € an Studierende und MitarbeiterInnen respektive. Es werden 3000 Essen verkauft und Umsatz 7100 € gemacht, wobei an Studierende fünfmal so viele Portionen, wie an MitarbeiterInnen. Wareneinsatz beträgt 1, 1.5, 1.5 € respektive und insgesamt 4150 €. Personalaufwand: 1.5, 1.5, 2 € respektive, 4950 € insgesamt.
a) Stelle Gleichungssystem zur Bestimmung der jeweiligen Essen an Studierende bzw. Mitarbeiter gegebenen Portionen auf.
b) Löse mit Gauß-Algorithmus
c) Wieviele Lösungen gibt es?
2. U unitäre, komplexe pxp-Matrix, V unitäre, komplexe qxq-Matrix, A komplexe pxq-Matrix. Beweise: (UAV)+ = V* A+ U* (+ bedeutet Moore-Penrose-Inverse).
3. Bestimme alle linearen Abbildungen mit $( (1 1) ) = (1 2) und $( (4 -1) ) = (-1 3)
4. Bestimme Nullstellen von f (siehe Lösungen)
5. 3x3-Matrix A = ((6 2 2) (2 3 1) (2 1 3)). Weise Eigenwert 2 nach. Berechne weitere Eigenwerte, algebraische und geometrische Vielfachheiten und Eigenräume.
Musterlösung
1. Mensa verkauft Essen A, B, C zu 1, 2, 3 bzw. 2, 4, 5 € an Studierende und MitarbeiterInnen respektive. Es werden 3000 Essen verkauft und Umsatz 7100 € gemacht, wobei an Studierende fünfmal so viele Portionen, wie an MitarbeiterInnen. Wareneinsatz beträgt 1, 1.5, 1.5 € respektive und insgesamt 4150 €. Personalaufwand: 1.5, 1.5, 2 € respektive, 4950 € insgesamt.
a) Stelle Gleichungssystem zur Bestimmung der jeweiligen Essen an Studierende bzw. Mitarbeiter gegebenen Portionen auf.
b) Löse mit Gauß-Algorithmus
c) Wieviele Lösungen gibt es?
2. U unitäre, komplexe pxp-Matrix, V unitäre, komplexe qxq-Matrix, A komplexe pxq-Matrix. Beweise: (UAV)+ = V* A+ U* (+ bedeutet Moore-Penrose-Inverse).
3. Bestimme alle linearen Abbildungen mit $( (1 1) ) = (1 2) und $( (4 -1) ) = (-1 3)
4. Bestimme Nullstellen von f (siehe Lösungen)
5. 3x3-Matrix A = ((6 2 2) (2 3 1) (2 1 3)). Weise Eigenwert 2 nach. Berechne weitere Eigenwerte, algebraische und geometrische Vielfachheiten und Eigenräume.
Musterlösung
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| Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems. Lösen per Gauß-Algorithmus. |
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| Überprüfung auf Eigenschaften und Bestimmen der Moore-Penrose-Inversen. |
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| Berechnung per Inversen-Matrix, Laplace-Entwicklung. |
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| Berechnung der Eigenräume, Eiegenwerte, algebraische & geometrische Vielfachheiten. |
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