Beispiel zu d'Alembertsches Reduktionsverfahren

Klausur Gewöhnliche Differentialgleichungen - Aufgaben & Lösungen

Bump! Vielleicht hilft's.

Prüfung zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen bei Prof. Dr. Gittel im Wintersemester 2011 an der Universität Leipzig.

Leider habe ich die letzte Aufgabe nicht gelöst. Aufgabenstellungen sollten klar sein, denn ich habe sie meistens abgeschrieben.

Aufgabe 2:
a) Formuliere den Satz von Picard-Lindelöf.
Aufgabe 3:
a) Definiere Wronski-Determinante und beschreibe den Zusammenhang zum Fundamentalsystem.
Aufgabe 4
b) Welchen Stabilitätcharakter hat der Gleichgewichtspunkt (0,0) des Systems aus a)
Aufgabe 5
Sei y nichttriviale Lösung der DGL y" = q(x)y = 0 in [a,b], q stetig negativ auf [a,b]. Zeige y hat in [a,b] höchstens einen Nullstelle.

Das Aufgabenblatt kann ich aus urheberrechtlichen Gründen leider nicht uppen :(

Kompakte Zusammenfassung Vordiplom mündliche Prüfung Analysis

Hier meine Kurzzusammenfassung auf Karteikarten mit den wichtigsten Sätzen zur Differentialrechnung und Integrationsrechnung und einige Zusammenfassungen zu Differentialgleichungen:

Mittelwertsatz

Lehrsatz von Taylor

Zusammenfassung Partialbruchzerlegung

Hauptsatz der Diff-/Integralrechnung

Fixpunktsatz von Banach

Satz von Picard-Lindelöf

Auswahlsatz von Arzela-Ascoli

Satz von Peano

Existenzsatz von Cauchy

Klausur Lineare Algebra 2 Aufgaben & Lösungen

Für alle, die nach einer Probeklausur zur Vorlesung Lineare Algebra 2 suchen! Ich hab hier die Musterlösung der Klausur bei Prof. Dr. Fritzsche von 2011 eingescannt. Die Prüfung enthält eine Textaufgabe sowie Aufgaben zur Berechnung der Moore-Penrose-Inversen, linearen Abbildungen, Laplace-Entwicklung bei der Berechnung der Determinante und Bestimmung der Eigenwerte und Eigenräume sowie Berechnung der algebraischen und geometrische Vielfachheiten. Da die Aufgaben urheberrechtsgeschützt sind, umschreibe ich die Aufgaben grob:

1. Mensa verkauft Essen A, B, C zu 1, 2, 3 bzw. 2, 4, 5 € an Studierende und MitarbeiterInnen respektive. Es werden 3000 Essen verkauft und Umsatz 7100 € gemacht, wobei an Studierende fünfmal so viele Portionen, wie an MitarbeiterInnen. Wareneinsatz beträgt 1, 1.5, 1.5 € respektive und insgesamt 4150 €. Personalaufwand: 1.5, 1.5, 2 € respektive, 4950 € insgesamt.
       a) Stelle Gleichungssystem zur Bestimmung der jeweiligen Essen an Studierende bzw. Mitarbeiter gegebenen Portionen auf.
       b) Löse mit Gauß-Algorithmus
       c) Wieviele Lösungen gibt es?

2. U unitäre, komplexe pxp-Matrix, V unitäre, komplexe qxq-Matrix, A komplexe pxq-Matrix. Beweise: (UAV)+ = V* A+ U* (+ bedeutet Moore-Penrose-Inverse).

3. Bestimme alle linearen Abbildungen mit $( (1 1) ) = (1 2) und $( (4 -1) ) = (-1 3)

4. Bestimme Nullstellen von f (siehe Lösungen)

5. 3x3-Matrix A = ((6 2 2) (2 3 1) (2 1 3)). Weise Eigenwert 2 nach. Berechne weitere Eigenwerte, algebraische und geometrische Vielfachheiten und Eigenräume.

Musterlösung

Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems. Lösen per Gauß-Algorithmus. 

Überprüfung auf Eigenschaften und Bestimmen der Moore-Penrose-Inversen.

Berechnung per Inversen-Matrix, Laplace-Entwicklung.

Berechnung der Eigenräume, Eiegenwerte, algebraische & geometrische Vielfachheiten.