Anfangs-Randwert-Problem // Auslenkung einer Saite

In partielle Differentialgleichungen studieren wir Differentialgleichung, die häufig Anwendung in der Physik finden. Hier also eine Anfangs Randwert Aufgabe zu einer homogenen, eingespannten Saite, welche in Form einer Parabel in x=l/2 in der Senkrechten symmetrisch die Höhe h hat. Such nun die Auslenkung u=u(t,x) eines Punktes der Saite von der geradlinigen Gleichgewichtslage unter der Voraussetzung, dass die Anfangsgeschwindigkeit =0 ist.
Hinweis: u genügt einer Wellengleichung, nutze dann Separationsansatz und Fouriertransformation.

Die Lösung zu diesem Anfangs-Randwert-Problem findest du in diesem geTeXten PDF.

Klausurvorbereitung Numerik

Meistens darf man in Numerik Prüfungen Allesmögliche mitbringen … Literatur, Skript, Übungsaufgaben. Warum also nicht einfach Vorlagen für eine Aufgabe zum Natürlichen Spline und Newtonschem Interpolationspolynom, zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung, ein Beispiel zum Banachschen Fixpunktsatz, Algorithmen zur Bestimmung des trigonometrischen Interpolationspolynom mittels Fast Fourier Transformation oder der QR-Zerlegung über Householder-Transformationen oder Givens-Rotationen, Step-by-Step-Anleitungen für Quadraturformeln und Vorlagen für die differentielle Fehleranalyse (Stabilitätsuntersuchung).

In Vorbereitung auf die Numerik-Klausur bei Prof. Dr. Kunkel an der Universität Leipzig.

All das findet ihr in diesem geTeXten PDF.

Zusammenfassung Stabilität von Autonomen Systemen

Und eine weitere Zusammenfassung zu Qualitativen Aussagen über Autonome Systeme. Stabilität. Stationärer Punkt (Kritischer Punkt, Gleichgewichtspunkt), Phasenporträt (Phasenraum), asymptotisch stabil, Zentrum, Strudelpunkt, Stern, Sattelpunkt.

Auf Fehler bitte hinweisen!

Zusammenfassung Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Lineare Systeme

Hier eine weitere kompakte Zusammenfassung für die Prüfungsvorbereitung zur Klausur in Gewöhnliche Differentialgleichungen. Es handelt sich um eine Übersicht zu Vorgehensweisen: Wie bestimmen wir eine Fundamentallösung, wie ein Fundamentalsystem? Welchen Ansatz verfolgen wir bei einer Eulerschen Differentialgleichung? Wie gehen wir beim Potenzreihenansatz bzw. dem verwandten Taylorreihenansatz vor? Was ist das zugehörige charakteristische Polynom eines linearen Systems? Wie gehen wir mit komplexen Eigenwerten vor? Wie bestimmen wir die zugehörigen Eigenvektoren? Welche Ansätze bieten sich, um eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems zu bestimmen? Wie funktioniert die Variation der Konstanten und wie lässt sich hier die Cramersche Regel anwenden? Wie funktioniert das Reduktionsverfahren von d’Alembert?

Mathe ist eine Trainingssportart! Diese theoretische, rezeptartige Übersicht ersetzt kein Studium =)

Bitte auf Fehler hinweisen!

Klausur Gewöhnliche Differentialgleichungen - Aufgaben & Lösungen

Bump! Vielleicht hilft's.

Prüfung zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen bei Prof. Dr. Gittel im Wintersemester 2011 an der Universität Leipzig.

Leider habe ich die letzte Aufgabe nicht gelöst. Aufgabenstellungen sollten klar sein, denn ich habe sie meistens abgeschrieben.

Aufgabe 2:
a) Formuliere den Satz von Picard-Lindelöf.
Aufgabe 3:
a) Definiere Wronski-Determinante und beschreibe den Zusammenhang zum Fundamentalsystem.
Aufgabe 4
b) Welchen Stabilitätcharakter hat der Gleichgewichtspunkt (0,0) des Systems aus a)
Aufgabe 5
Sei y nichttriviale Lösung der DGL y" = q(x)y = 0 in [a,b], q stetig negativ auf [a,b]. Zeige y hat in [a,b] höchstens einen Nullstelle.

Das Aufgabenblatt kann ich aus urheberrechtlichen Gründen leider nicht uppen :(

Klausur Lineare Algebra 2 Aufgaben & Lösungen

Für alle, die nach einer Probeklausur zur Vorlesung Lineare Algebra 2 suchen! Ich hab hier die Musterlösung der Klausur bei Prof. Dr. Fritzsche von 2011 eingescannt. Die Prüfung enthält eine Textaufgabe sowie Aufgaben zur Berechnung der Moore-Penrose-Inversen, linearen Abbildungen, Laplace-Entwicklung bei der Berechnung der Determinante und Bestimmung der Eigenwerte und Eigenräume sowie Berechnung der algebraischen und geometrische Vielfachheiten. Da die Aufgaben urheberrechtsgeschützt sind, umschreibe ich die Aufgaben grob:

1. Mensa verkauft Essen A, B, C zu 1, 2, 3 bzw. 2, 4, 5 € an Studierende und MitarbeiterInnen respektive. Es werden 3000 Essen verkauft und Umsatz 7100 € gemacht, wobei an Studierende fünfmal so viele Portionen, wie an MitarbeiterInnen. Wareneinsatz beträgt 1, 1.5, 1.5 € respektive und insgesamt 4150 €. Personalaufwand: 1.5, 1.5, 2 € respektive, 4950 € insgesamt.
       a) Stelle Gleichungssystem zur Bestimmung der jeweiligen Essen an Studierende bzw. Mitarbeiter gegebenen Portionen auf.
       b) Löse mit Gauß-Algorithmus
       c) Wieviele Lösungen gibt es?

2. U unitäre, komplexe pxp-Matrix, V unitäre, komplexe qxq-Matrix, A komplexe pxq-Matrix. Beweise: (UAV)+ = V* A+ U* (+ bedeutet Moore-Penrose-Inverse).

3. Bestimme alle linearen Abbildungen mit $( (1 1) ) = (1 2) und $( (4 -1) ) = (-1 3)

4. Bestimme Nullstellen von f (siehe Lösungen)

5. 3x3-Matrix A = ((6 2 2) (2 3 1) (2 1 3)). Weise Eigenwert 2 nach. Berechne weitere Eigenwerte, algebraische und geometrische Vielfachheiten und Eigenräume.

Musterlösung

Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems. Lösen per Gauß-Algorithmus. 

Überprüfung auf Eigenschaften und Bestimmen der Moore-Penrose-Inversen.

Berechnung per Inversen-Matrix, Laplace-Entwicklung.

Berechnung der Eigenräume, Eiegenwerte, algebraische & geometrische Vielfachheiten.

Klausur Lineare Algebra 1 Aufgaben & Lösungen

Hier ist die komplette Lösung der Lineare Algebra I-Prüfung bei Prof. Dr. Fritzsche von 2011. Genauer handelt es sich um die Lösungen einer Nachklausur. Ich denke, dass sich manche über den Up freuen.

Die Aufgaben dazu sind urheberrechtsgeschützt. Daher hier eine kurze Zusammenfassung der Aufgaben:

1. X, Y, Z nichtleer, Phi: X nach Y, Psi: Y nach Z.

       a) Falls Phi, Psi surjektiv, so auch (Psi o Phi)

       b) Ohne Begründung, gebe ein Beispiel dafür, dass Umkehrung von a) nicht gilt.

2. Zeige D bzgl. Matritzenmultiplikation bildet kommutative (abelsche) Gruppe

3. Sei V K-Vektorraum.

       a) Definiere Unterraum von V

       b) Notwendige & Hinreichende Bedingung für U C V ist Unterraum von V.

4. Vektorsysteme sind Erzeugendensystem, Basis, ...?

5. V K-Vektorraum mit dim(V) = m, m natürliche Zahl. Gebe Menge M aller positiven ganzen Zahlen an, für die existiert linear unabhängiges System v1, ... , vn von n Vektoren aus V gibt.

6. Vektorraum R3 mit U := span{(1 2 1)^T,  (1 1 1)^T, (5 7 5)^T}.

       a) Bestimme dim(U)

       b) Zeige v := (3 5 3)^T gehört zu U

       c) Gebe Basis von U, welche v enthält an.

       d) Gebe Unterraum U1 von V mit V = U + U1.

           Gebe von U1 verschiedenen Unterraum U2 von V an, mit V = U + U2.

7. Berechne ABB* sowie (CC)^T - 2A mit gegebenen Matrizen: 

    A= ((1 0)^T (1 1)^T), B = (1 i)^T, C = ((1 2)^T (1 1)^T (1 3)^T)

8. A e C^(pxq), b e C^(p). Siehe auch Lösungen.

       a) Gebe Notwendige & Hinreichende Bedingung für LGS lösbar.

       b) Begründe LGS eindeutig lösbar.

       c) Begründe, dass im Fall I - AA* invertierbar, das angegebene LGS eindeutig lösbar ist. Hinweis berechne Produkt BCB*.

Hier die Lösungen handschriftlich:

Ich hoffe das hilft bei der Vorbereitung zur Klausur. Mathe ist eine Trainingssportart! Viel Spaß.

Declaración por el Comité de Escritores en Lenguas Indígenas

Declaración
Abiturprüfung Spanisch Grundkurs 2009


Resume en qué situación se encuentran las lenguas indígenas en México. (comprensión)
El texto es un fragmento de una declaración por el Comité de Escritores en Lenguas Indígenas que fue publicado en 1997 en el distrito federal de la ciudad de México. El tema principal es la problemática acerca de la diversidad étnica, lingüística y cultural de México. En particular trata del indigenismo y la conservación de las lenguas indígenas. Además aborda temas secundarias. Así por ejemplo el llamado Malinchismo o el plurilingüísmo.
No sólo se dirige a varios grupos del público como por ejemplo el gobierno y los partidos políticos y otros instituciones sino también, generalmente, a la sociedad local y global.
La declaración se divide en tres partes principales.
Al principio se introducen los escritores en lenguas indígenas. Empiezan admitiendo que intentan convencer a los destinatarios de compartir sus pensamientos y las propuestas relacionadas con el tema.
En el siguiente párrafo, dan su parecer sobre la situación de las lenguas indígenas en México. Advierten la Constitución Política y su afirmación que México es un país pluricultural. Seguidamente lamentan el estatuto de la sociedad española y le llaman una sociedad excluyente. Ponen unas preguntas también.
Se dice que a pesar de esas circunstancias conserven las lenguas porque son importantes en materia de dignidad y otros aspectos.
Después, piden garantías y derechos acerca de varios ámbitos de vida.
En los dos últimos párrafos invocan sus intenciones. Proponen una unificación y un cambio social para alcanzar el bienestar de todos los mexicanos. La declaración termina con una cita de Chilam Balam que es una colección de libros escritos en lengua maya.


Analiza cómo los autores tratan de convencer a los destinatarios de la declaración de compartir sus propuestas. (análisis)
Los autores de la declaración se sirven de numerosas técnicas literarias para convencer a los destinatarios. Eso es obvio porque la declaración tiene el objetivo de atraerles y de interesarles para sus proposiciones.
El lector se encuentra a una estrategia literaria que tiene en cuenta una abundancia de métodos.
Emplean una estructura distinta. Al principio nombran los destinatarios (ll. 1-5). Después hay una introducción breve (ll. 6-9). La siguiente parte es la presentación de la situación y el razonamiento (ll. 10-21). En la última parte se desarrolla la llamada principal (ll. 22-34).

La declaración fue escrita en un modo formal y el lenguaje usado también es formal. Por este estilo los autores tratan de sugerir seriedad.
Sin embargo de vez en cuando el contenido llama a las emociones del lector por el empleo de palabras claves como por ejemplo <> y <> o pronombres personales (véase ll. 16, 30). Así por ejemplo la palabra <> y sus otras formas que provocan que el lector se identifique con los autores y así sus ideas (véase ll.7, 11, 23). Sobre todo, el texto es contado desde el punto de vista de los autores (véase la conjugación de los verbos).
En cuanto a los verbos se revela otro aspecto lingüístico. Al respecto de la connotación, casi todos los verbos equivalen al contenido local. Así subrayan el ambiente. Por ejemplo, el verbo <> recalca el daño puesto a la cultura (véase ll.17).
En la última parte se encuentran a numerosas verbos muy fuertes como <>, <> y <>.
Además los autores se refieren a la Constitución y últimamente a una colección de libros para fundamentar su razonamiento (véase ll. 10, 34).
Un contraste en la línea 29 subraya la importancia de cambiar la sociedad (compare <> y <>).
En la línea 17 los autores ponen unas preguntas retóricas para integrar al lector. Allí también llaman al racionalidad del lector.
También se encuentran a una comparación en la línea 32 y repeticiones de palabras fundamentales (compare <>, <<étnica>>, <>, <> y <>).
La mayoría de estos recursos estilísticos sirven el objetivo de recalcar la importancia de alguna frase. Por otros recursos lingüísticos los autores quieren <> a los destinatarios.
En virtud de la problemática acerca de las lenguas indígenas es comprensible que el texto tienda ser empático para pasar su mensaje.

Una Chica Lista - Lösung

Una Chica Lista
Abiturprüfung


Resume lo que pasa a la chica aquel día. (comprensión)
Una chica lista es un relato, por Luis del Val, que fue publicado en su colección Cuentos de medianoche en 2006.
El texto aborda la vida de una joven inmigrante en Madrid, la capital de España. En particular trata de una ocasión distinta en el metro madrileño en la que la protagonista, una mujer de dieciséis años, tiene mucha suerte. Aunque ni sabe escribir ni leer la protagonista es supuestamente la más lista de su tribu.
En aquel día la protagonista se pone en marcha a su nuevo puesto de trabajo en una casa  de un viejo español. Antes de subir el metro, intenta memorizar la dirección de aquella casa - la estación Moncloa - repitiendo las indicaciones de una amiga. A pesar de hacerlo, se confunde de lado en el andén en la estación en la que debe cambiar el tren. Resulta que llega a Legazpi que es otro estación en Madrid.
No puede permitirse comprar otro billete. Entonces le explica su problema a un vigilante. Ella no se avergüenza nada. Ultimamente el vigilante tiene compasión de ella y le permite entrar sin billete y con la ayuda de su tarjeta.
En su nuevo puesto de trabajo el señor de la casa le contratar a la protagonista. Allí trabaja como sirvienta. Se encarga de dos niños gemelos. De esta manera, se dice que ella cumplí su sueño. El texto termina declarando que cada vez cuando ve a un de los vigilantes del metro se acuerda de aquel día en el que le ayudó en la estación de Legazpi.


Analiza cómo la manera de presentar la historia dirige la simpatía del lector. (análisis)
El autor utiliza varios recursos lingüísticos, una lengua y una estructura distinta para dirigir la simpatía del lector. Básicamente el lector tiene simpatía con la protagonista por dos razones - su talante en aspectos físicos y sus rasgos y secundariamente por lo que ella aguanta durante la historia.
El título ya revela la intención del autor. <> indica que el autor intenta crear una imagen amigable de la protagonista. Es decir que cada uno suele tener simpatía con una joven y sobre todo la palabra <> es un rasgo muy positivo (véase al título). Por lo tanto el lector empieza leer el texto pensando de una chica simpática.
Sin embargo hay otros elementos para manipular las emociones del lector.
Al comienzo del cuento, en la primera frase, se dice que <> (véase l.1). Luego le describe como una joven necesitada. Por ejemplo, el narrador omnisciente, que cuenta en tercera persona, descrita su talante. Compara sus <> con <> (véase ll 13-14).
En conclusión su físico genera compasión y simpatía. Sus rasgos suponen está función.
La protagonista es candorosa y necesita ayuda. Ni sabe escribir ni leer muy bien y tiene una <> (véase l. 12).
Debido a estos aspectos de la minimización de la protagonista, el lector naturalmente tiene compasión y simpatía.
Otro ejemplo de la minimización es su manera de memorizar el nombre de la estación con los dos oes (véase l.5).
El desarrollo de la historia y las acciones también afectan las emociones.
Sobre todo hay esta repetición de la palabra <>. No obstante la protagonista hace un error, tiene un problema de expresarla en castellano y necesita la ayuda del vigilante. Significa que el lector quiere que tenga éxito para mantener el rasgo <>.
De verdad, el trasfondo de la protagonista y su sueño son tristes. Aparentemente no ha vivido junto con sus padres (véase l.2 <>). Bien mirado ninguno joven quiere trabajar como sirvienta a la edad de dieciséis años.
En el desenlace el narrador le disculpa a la protagonista subrayando sus problemas y la situación (véase ll. 20-26). La palabra <> introduce un aspecto peligroso (véase l. 19). Así, sin saberlo, el lector asume el punto de vista del narrador defendiendo <>.
Finalmente, la afirmación de que ella había <> produce la idea de un desenlace feliz (véase l. 24).
Además se dice que está agradecida por (de?!) la ayuda del vigilante en aquel día.
En conclusión, el lector se compadeció de la protagonista y se identifica de con la chica simpática debido a una manera distinta del autor introduciendo la protagonista y presentando la historia.


Comenta el modelo de convivencia presentado en este cuento considerando la realidad social española. (comentario)
El modelo de convivencia que es presentado en este cuento es muy raro.
Al primero hay que analizar la vida de la protagonista en vista de su trasfondo. Es muy probable que es una inmigrante del norte de Africa. Se dice que tiene el <>. Además no sabe escribir ni leer. No es capaz de expresarse en castellano, la lengua local que sirve de elemento unificador. Aparentemente la chica, que tiene solo dieciséis años, no vive con sus padres. Significa que la protagonista está en una situación muy desesperada.
Fundamentalmente la protagonista experimenta una vida completamente diferente comparando con la vida de un joven español normal a la edad de dieciséis años.
La realidad social en España es que los jóvenes viven en casa de sus padres al menos hasta que cumplen la edad de dieciocho años. Como los jóvenes españoles van a la escuela hasta la edad de 18 o 19 años parece extraño que la protagonista trabaja en una casa cuidando dos niños gemelos. Aparentemente, allí vive juntos con su empleador - un viejo español. Entonces no tiene el apoyo de su familia.
En vez de la vida en el núcleo familiar tiene amigas. Como sabemos que en España hay muchísimos inmigrantes, es probable que sean inmigrantes también.
El texto no dice nada sobre su vida diaria. Sin embargo se puede especular que tenga un ocio muy diferente de lo normal. En España los jóvenes están bastante felices y hacen actividades diversos en su tiempo libro. Mientras tanto, es obvio que inmigrantes sin papeles enfrentan obstáculos si quieren participar en actividades distintas. Los inmigrantes tienen que vivir en el obscuro para evitar la posibilidad de ser detenido y expulsado por la policía.
Es decir que si la protagonista de verdad es una inmigrante en situación ilegal eso afectará su vida de manera fundamental. Tal vez su empleador le explota.
En general, en este caso, la protagonista entrará el círculo vicioso de los inmigrantes. Habrá el riesgo de paro, de explotación, de alguna dependencia o en el peor de los casos la prostitución. En el texto no está claro si la protagonista ya trabaja en la economía sumergida como la mayoría de los inmigrantes.
Significa que aunque había cumplido su sueño, no disfruta de una vida en un nivel alto como experimentan los jóvenes españoles.
No obstante, en España hay muchos extranjeros y la sociedad española es muy diversa. Así no es difícil sobrevivir en una ciudad como Madrid. Sobre todo quizás <> tiene suerte con su empleador, tiene un lugar donde dormir, tiene un trabajo y puede aprender algo. Y tal vez hubiere (sub. Futuro?) una campaña de legalización de los inmigrantes. Si hubiera esta legalización la protagonista disfrutaría de todos los derechos humanos.